70 GYLDÉN, OM PERIPLEGMATISKA KURVOR. 



Vilkoret för att en plan kurva i en viss punkt skall vända 

 sin konkavitet mot en rät linie, som må antagas vara koordinat- 

 systemets A'-axel, uttryckes analytiskt derigenom, att produkten 



7/-y^- , der y och x beteckna ifrågavarande punkts rätvinkliga 



koordinaler, sättes lika med en negativ qvantitet. Om vi der- 

 före med A' beteckna en funktion af x och ?/, hvilken för alla 

 X- och ^/-värden förblir positiv, så innebär differentialeqvationen 



(1) yiå=-^' 



att den kroklinie, som representerar integralen till densamma, 

 ständigt förblir konkav mot ^-axeln. 



Vilkoret att en periplegmatisk kurva skall vara konkav, 

 uttryckes således medelst likheten (1) lätt nog, men det andra 

 vilkoret, eller att kurvan i ingen punkt får aflägsna sig ifrån, 

 eller närma sig intill den gifna medelpunkten utöfver vissa 

 gränser, angifves icke lätt, så länge kurvans eqvation uttryckes 

 i rätvinkliga koordinater. Vi ersätta dessa derföre medelst po- 

 lära koordinater. 



I det vi med n beteckna den vinkel, som ;>'-axeln bildar 

 med en godtyckligt lagd grundriktning, med r radius-vektor 

 samt slutligen med v vinkeln emellan radius-vektor och nämnda 

 grundriktning, erhålles nedanstående relationer 



X = r Cos (v — 7t); y = r Sin (v — tv) . 



Genom difFerentiation härledes ur dessa de följande: 



-y- == Cos (v — n)-, /• Sin (v — n) 



av av 



-ä- — Sin (v — 7i) -r- + ^' Cos (v — 7t) , 

 dv av 



h varur framgår: 



dy % ^^" <^'' ~~ ^) + '■ ^""^ (" ~ ^^ 



^^ " - Cos (v — 7t) — r Sin (v — n) 



av 



