72 GYLDÉN, OM PERIPLEGMATISKA KURVOR. 



variabel t i stället för v, i det relationen emellan v och t an- 

 tages vara 



av = — ^ öfr , 

 r- 



der c betecknar en konstant, likheten 



W ^^2 ,,3 ,.3-^- 



Om man tänker sig X såsom en bekant funktion af v, af 

 sådan beskaffenhet att densamma kan uttryckas medelst en 

 summa af rent trigonometriska termer, deribland dock må före- 

 komma en ren konstant, så kan likheten (3) visserligen integre- 

 ras, men integralen representeras icke af en periplegmatisk kurva. 



Den allmänna integralen till likheten (3) har nämligen 

 formen 



(5) ^ = -^—[cy'"+"ß'"+ c\g-yv-vßdv 



der Cj och C^ beteckna in-tegrationskonstanler, »- en reell eller 

 imaginär konstant, som beror af den speciella beskaffenheten af 

 funktionen X, samt z en funktion af v, hvilken innehåller ute- 

 slutande trigonometriska termer, och hvars numeriska belopp 



o . JO o 



aldrig kan uppnä enheten. Det är da tydligt, att — måste för- 

 svinna för vissa värden af v, för så vidt v är en imaginär qvan- 

 titet, men att denna funktion deremot kan växa utöfver hvarje 

 gräns om v är reell. 1 ingendera händelsen varierar således r 

 emellan bestämda ändliga gränser, hvadan likheten (5) icke re- 

 presenteras af någon periplegmatisk kurva. 



Deremot, om X är gifven medelst uttrycket 



P \ Pi 



der Xj betecknar en summa trigonometriska termer, bland hvilka 

 dock må förekomma en konstant, så utgör integralen till (3) lik- 

 heten för en kroklinie, som under vissa vilkor är en peripleg- 

 matisk kurva. Låtom oss uppsöka dessa vilkor. 



