92 BENDIXSON, LES ÉaUATIONS DIFPÉRENTIELLBS LINÉAIRES ETC. 



Il est pourtant evident que Ton ne pourrait en general 

 déterminer, si une équation différentielle donnée est irréductible 

 dans le sens de M. Frobenius, ou si eile ne Test pas. 



Au contraire, on peut toiijours, et cela par un nombre fini 

 d'operations arithmétiques, déterminer, si une équation différentielle 

 linéaire homogene est réductible dans le sens de ce mot employé 

 par nous ou si eile ne Test pas. 



Nous nous proposons de développer ici une méthode d'etiectuer 

 (;ette déterminatiou. 



Avant d'aborder cette question, nous voulons pourtant établir 

 un théoréme qui nous sera utile dans la suite et qui nous semble 

 ofFrir de Tinterét. 



Considérons donc une équation différentielle linéaire de la 

 forme (1) et soit i/] , y-j, ■ ■ -, y„ un systéme fondamental d'in- 

 tégrales. On salt que 



(-i)V,(-^')^~'^"'^''^ 



d\ d"y., d"y.n 



da;'' ' dx" ' " ' ' dx" 



v = Q, 1, ..., n — ?.—l, u — ?. + l, ...n 



d^ti 

 ou -r-^ pour j' = O désigne la fonction y elle-méme. 



On prouve aisément å l'aide de cette relation que chaque 

 déterminant 



(«) 



d^'y•^ d^y^ 



\AJtAJ KÅjiÅj 



d"yn 

 dx" 



7' = io, /.-, , 



est egal å une fonction rationnelle de x multipliée par e^-^ ^^ ', 

 k^ ^ k-^ , .... kn — i étant des nombres entiers quelconques. On 

 en conclut que: Le déterminant («) est egal a une fonction 



rationnelle de x multipliée par e''^ '' et satisfait ä une équa- 

 tion différentielle linéaire du pretnier ordre ayant pour coejficients 

 des fonctions rationnelles de x. 



J'envisage raaintenant le déterminant 



djl^ 



dj/^ 



d^ yn 



dxy 



= 0, 1, 



