ÖFVERSIGT AF K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 1892, N:0 2. 9o 



On aura en différentiant 



da' 







1=0. i. ...Il — S, II — 1 



et 

 clv- 



d.r' ' dx'' ' ■ ■ ■ ' dx'' 



+ ZJ., 



dz\ 

 da- 



r = 0. 1 . . . , II — 4. II —2, ii — \ 



011 />o est une tbnctioii linéaire de z, -V^, dont les coefficients 



dx 



sont des fonctions rationnelles de .r. En procédant ainsi on par- 



vient ä l'egalite 



dx'- 



^1 fe 



dr'' 



+ LAz, 



dz 



d 



l-\ 



dx ■ ■ ■ ■ dx^- "~ ^ 



r = 0, 1 . . . , » — /. — 2, n — l... n —\ 



/7- 7 



X; étant une fonction linéaire de z. -^ , ... , , ~ å coeffici- 



dx dx'- ~ ^ 



ents rationnels en .r. Pour A = n cette égalité nous fait voir que 



z satisfait a une équation difFérentielle linéaire d'ordre //, dont 



les coefficients sont des fonctions rationnelles de .r. 



En mettant 



dx'' ' dx" ' 



dx' 



r = 0, 1, ...» — P. — 2, /! — /., ...;( — ! 



les é^alités ci-dessus établies nous montrent que z)_ est une 

 fonction linéaire ä coefficients rationnels de z et de ses dérivées 

 jusqu'ä l'ordre /.. 



Mais chaque déterniinant 



dx'' ' dx'' ' 



t/^'' 



)' = /!•„, /.•, . ..k«. 



OU /•,, . /■ 



Å:„_2 sont des nonibres entiers quelconques, s'ex- 



prinii' <''\ ideniinent en fonction linéaire de z, *, , ... ~„_i a 



coefficients rationnels, les dérivées -r^' s'exprimant en ettet ;i 



dx.f'- 



l'aidi' (jr réquatitin (1) en fonctions linéaires de y, -3—, ..., 



J" - '// 



