94 BENDIXSON, LES ÉaUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES ETC. 



De cette maniére nous sonimes parvenus au resultat que voici: 

 iChaq ue déterin inant 



(/j/i dj^ d''t/a _ 1 



peut étre ecxprimé en fonction linéaire ä coejficients rationnels de 

 la fonction 



d'y^ ify^ d"yn - 1 



t/.^''' ' dx" ' ■ ■ ■ ' dx"' 



j'=0, 1 ... M - 2 



et de ses dérivées. La fonction z satisfait ä une équation dif- 

 fét^entielle linéaire d^ordre n ä cuejficients rationnels.-» 



La fonction z n'est autre chose que le multipücateur (Mul- 

 tiplicator) de l'equation différentielle donnée, ^) multiplié par 



Envisageons en effet l'expression différentielle 



^ ^Jh ([]h '^'Un - \ 



dx" ' dx" ' dx" ' • • • ' dx'' 



")' = 0, 1, . . ., n -1 



On voit que cette expres.sion s'annule pour ,y--^i, y-i, ■ • -, yn—\- 



Pour y = yn la valeur du déterminant est ( — 1)" '^e J^ ' 

 s'en suit que l'equation différentielle 



d^yn - 



II 



= 



Jp^(x)<lx _ 



d y d y^ 

 dx'' ' dx'' ' 



dx'' 



)' = 0, . .. , n — l, 



* 



a les Solutions y^ , y.^ , . . .yn-, 'l'oii Ton conclut que 



/_ Y^^-\Jpx{^)dx _ ^ 



- 7« -1)1 — \ 



du , , d q , . 



d^ 

 dx 



^jp^{x)(ij. 



djj d'yy d^y,, _ i 



dx^' ' dx'' ' ■ ■ ■ c/a'" 



j=0, ...n — \. 



') Voir Thomk >Zui: Theorie d. Liii. Diff. Gleich» Journal für die reiue und 

 iingew. Math. Tome 7G page 272. 



