ÜFVERSIGT AF K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANULIXGAR 189 2, N:0 2. 95 



ce qui no US iiiontre que 



est un inultiplicateur de Féquation différentielle donnée. 



On pourrait a l'aide de cette egalité établir, que .17 satisfait 

 ä réquation difterentielle bien connue 



iLc" dx" - 1 dx" 



Considérons niaiiitenant le déterniinant 



+ ...+(-l)"J7p„(aO=0 



<l\ d^ 

 dx^' ' dx''' 



dx'' 



et soient k, . /<„ . 



différents déterniinants 



ou a 



7=0, 1, ...</— 1 



h{n — 1) . . . {n — </ + 1) 



les 



dx'' ' dx'' 



•■' dx'' 



r==h„, /», 



que Ton peut former en donnant aux nombres entiers b^■^ , b^ , 

 ..., b,,^i des vaieurs quelconques difterentes entré elles et < n, 

 on voit que cliaque dérivée de n peut s'exprimer en fouctioii 

 linéaire de u, u^ , ... ?/„ _ ] , dont les coefficients sont des fonc- 

 tions rationnelles de x. 



On aura donc unc suite d'equations 



i). 



les fonctions P;,, étant des fonctions rationnelles de ./', formées 

 |)ar de seules operations arithméti(]ues des coefficients de (1). 

 .Si le déterniinant 



J = I Puia;) , Pi,{x) , . . . , Pu r{x) I 



)• = !, 2, . . . u-} 



ne .s'annule pas id('nti(|ueui('nt, la tonction n satisfait ilonc a une 



"'■quation difterentielle linéaire d'ordre //, et */, , u , Uu-i 



s'e.xprime on fonction linéaire de u et de ses dérivées. 



Dans le cas oii .7 s'annule, ce resultat se inodilie de la 

 nianiére ci-dessous enoncée. 



