96 BENDIXSON, LES ÉaUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES ETC. 



Mais si k^ , /cj , .../<•,_! sont des nombres entiers quel- 



conques, le déterminant 



da;'' 





?<„_! a 



est éviderament une fonction linéaire de 



coefficients rationnels, d'oii Ton conclut que ce déterminant 



satisfait ä une équation différentielle d'ordre f.i. 



Nous pouvons donc énoncer le théorenie suivant 

 y^Chaque déterminant 



d''y^ d''ih_ d'^'yq 



~d^ ' ~(M' ' • ■ ■ ' dx'' 



ou Å;,j , Å-j , ..., kq^i désignent des 7iombres entiers qnelcong nes, 

 satisfait å une éqaatioii différentielle linéaire d'ordre u 



< 



i(n — 1) . . . {n — q + 1) 



et å coefficients ratiounels, f armés pat 



de seules operations arithmétiques des coeßcients de (i). Si 

 tous les mineurs d'ordre q — 1 de /t sont nuls^ 7nais il existe 

 un mineur d^ordre q de J qui ne s'annulle pas, le déterminant 

 p>eut étre exprinié en fonction linéaire a coefficients rationnels de 

 u et o — 1 des fonctions Uy , xi^ . . . u,i— i .>> 



La proposition établie nous fait voir que, s'il existe une 

 équation différentielle d'ordre q a coefficients rationnels qui a 

 toutes ses solutions communes avec Téquation (1), et si y^ , y.^_ , 

 . . . , t/q sont un Systeme fondaraentale d'integrales de cette 

 équation, alors la fonction a 



<fy^ (fy^ djq 



da;'' ' da;'' ' ' ' * ' dx'' 



V = 0, 1, ... , q — l 



satisfait å une équation différentielle du premier ordre å coeffi- 

 cients rationnels que Ton peut former par de seules operations 

 arithmétiques des coefficients de Téquation (1). 



La méme chose a lieu pour les q — 1 fonctions ia;. 



da;'' ' da;'' ' ' " " ' dx'' 



■/, — 2, n — l, 



»a 



