ÖFVERSIGT AF K. VETENSK.-AKAD, FÖRHANDLINGAK 189 2, N:0 2. 97 



Mais nous avons prouvé que la fonction u satisfait ä une 

 équation diflférentielle linéaire homogene d'ordre /t 

 7i(n — 1) ... (71 — q + 1) 



Il faut donc recliercher s'il existe une équation différentielle 

 du premier ordre ä coefficients rationnels dont les solutions satis- 

 font aussi å cette équation. 



Dans le cas ou une teile équation n'existe pas, il n'y a 

 pas d'equation différentielle d'ordre q ayant toutes ses solutions 

 communes avec Téquation donnée. 



Dans le cas au contraire ou une teile équation existe, c'est 

 å dire ou 1' équation diiférentielle d'ordre u a une integrale u teile 



que -^ • - est une fonction rationnelle, il y a lieu de distinguer 

 iLv II 



deux cas, selon que J est nul ou ne Test pas. 



Si ^/ n'est pas nul identiquement, nous savons que chaque 



fonction m;. est une fonction linéaire de u et de ses dérivées, ce 



qui met en évidence que 



m 



^ X = l, 2, ..., q-\ 

 r • .11 ^ du 1 



€st une fonction rationnelle en meme temps que -i- ' ~ • 



On peut donc dans ce cas affirmer qu'il existe une équation 

 différentielle linéaire d'ordre g, ayant toutes ses solutions com- 

 munes avec la proposée. 



Si au contraire z/ = O, mais tous les mineurs d'ordre q ne 

 s'annullent pas, les fonctions u), peuvent s'exprimer en fonctions 

 linéaires de q de ces fonctions u, Uy^ , ... Mv _j • 



Mette ns 



'C = au + a^ijy^ + . . . -f or(,_i?<,.^^_j 



011 «, ny . . . cfß—i sont des quantités indéterminées. Comrae 

 toutes les dérivées de C sont des fonctions linéaires de ?/, ?/, ... 

 w^_i , on voit que C, satisfait ä uno équation différentielle k 

 coefficients rationnels d'ordre f^i. 



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