98 BENDIXSON, LES ÉQ.UATION DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES ETC. 



S'il existe une équation diflférentielle d'ordre q qui a toutes 

 ses Solutions communes avec l'equation (1), on sait que 



^1 = 0, ...fi 



doit étre une fonction rationnelle de a', ce qui met en evidence que 



d^ 1 



dx C 



doit étre une fonction rationnelle de a;. 



Mais, de l'autre coté, il est evident que, si l'equation differ- 

 entielle en 'C est satisfaite par une integrale l teile que 



4 1 



dx C 

 est une fonction rationnelle, alors les valeurs correspondantes de 

 u, M,,, , . . . Uy _ seront telles que 



U 



est une fonction rationnelle de x. Mais chaque ui étant une 

 fonction linéaire a coefficients rationnels de z/, Uy^ . . . Uy _ , on 

 en conclut que toutes les quantités 



ui 



u 



sont des fonctions rationnelles de x. 



Les développements antérieurs mettent en evidence que le 

 Probleme que nous nous soinmes proposé se réduit au suivant: 



Ktant donnée une équation différentielle homogene et linéaire 

 ä coeffi-cients rationnels 



(2) S + '•■^£3 + ■ ■ • + ^"-'Ws + '>«^=« 



déterminer, sHI existe ou non une équation différentielle du pre- 

 mier ordre 



(3) ^ = ^^ 



dx 



qui a une Solution commune avec Véquation donnée^ v désignant 

 tine fonction rationnelle de x. 



