ÖFVERSIGT AF K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 1892, N:0 2. 99 



Mais cettf déterniination se fait sans aucune difficulté. Nous 

 supposons que toutes les integrales de Téquation différentielle (2) 

 sont développables en series ordonnées suivant les puissances 



croissantes et positives de — pour des valeurs de x suffisarament 



grandes, ce que Ton peut toujours établir å l'aide d'une Sub- 

 stitution linéaire convenable. 



Pour que Téquation (2) ait une Solution commune avec 

 réquation (3), v doit satisfaire å une équation facile a former, 

 savoir 



,,, d^" u et "v u(u — 1) „f/f 



+ r^{x) = o . 



Il faut donc rechercher, si cette équation est satisfaite par 

 une fonction rationnelle de x. 



Comme e-^"'^ est une integrale de Téquation (2), chaque 

 point singulier a de la fonction v est aussi un point singulier 

 de Tune des fonctions 'i\{x), rj^x\ . . . rj^x), excepté dans le 

 cas ou 



{x — a) . v 



pour x = a est egal a un nombre entier positif. 



Soit donc a Tun quelconque des pöles des fonctions r^ix), 

 r^(x), . . . r^i(x), soit de plus a un nombre entier positif > 1, 

 choisi de teile maniére que la valeur de 



{x — aY" • ry(x) _ 



soit tinie pour x = a, on prouve aiséraent que 



{x — a)" ■ v 



pour X = a, a. une valeur finie. 



Multiplions en effet le menibre gauche de Téquation (4) par 

 (a- — a)"" et développons le en serie ordonnée suivant les puis- 



