100 BENÜIXSON, LES ÉaUATION DIFFÉRENTIELLES LINÉaIRES ETC. 



sances de . Les term es contenants les plus hautes puis- 



X — a 



sances de seront contenus dans 



X — a 



{x — a)f^''[v^'+r^{x)v^'-'^ + . . . + »7^-1(^)1^ + f^J^x)] 



ce que 1'on peut écrire 





{x — aY"rr{x)[{x — ay - v]f^ 



Pour que la plus haute puissance de s'evanouisse dans 



cette expression, il faut que 



{x — a)^«i..« 



ne contienne pas de puissance positive de — — . 



On sait donc que v peut étre développé en serie 



/ désignant une serie ordonnée suivant les puissances entieres 

 et positives de ^ — a. 



En substituant cette expression dans Téquation (4), on 

 obtient une suite d'equations entieres algébriques, auxquelles 

 doivent satisfaire les qu antites A^ . . . A„ et a l'aide desquelles 

 ces quantités se déterminent. 



Ecrivons 



Zti^- 



Äa-l A, 



= B(x) 



ay {x — a)«-i ■ x — a_ 



la sommation se comportant a tous les points singuliers a, b, c, 

 ... de r^(x), 7\{x), . . . , r^t^x), et mettons 



on sait que z satisfait ä une équation difFerentielle homogene et 

 linéaire dont les coefficients sont formés par de seules operations 

 arithmétiques de ceux de Téquation (2) et de ceux de R{x). 



Soit ■. . ■; 



