ÖFVERSIGT AF K. VETEXSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 18 92, N:0 2. 101 



,,. d^'^z , .d^^z , -.dz , . „ 



(^) rfji + ?.Wsr=i + • ■ • + •if'-^j, + ?...(^)-- = O 



cette équation et Tj , z^ , ... z^i un Systeme fondamentale d'in- 

 tégrales, il ne nous reste qu'a recliercher si cette équation a une 

 integrale qui est une fonction entiére rationnelle de x, car Tégalité 



nous montre qu"une valeur de z doit étre une teile fonction, si u 

 est une fonction rationnelle. 

 Faisons la Substitution 



1 



et écrivons la nouvelle équation dilFérentielle ainsi obtenue, 

 cornnie le fait M. Frobenius i) 



r^G^od)^ +r-^6^i(^)|ä + • • • + G^z = o . 



d^ dt: 



Gq , (tj , . . Gu désignant des fonction s entiéres rationnelles qui 

 ne s'annullent pas toutes pour | = 0. 



L'une des racines de Téquation déterminante 



+ G,{0)q{q - 1) . . . (^o - ^i + 2) + . . . + (?,.(0) = 

 est alors égale å la plus haute puissance negative de ^ , con- 

 tenue dans le développenient de z,-) c'est a dire égale au degré 

 de la fonction entiére rationnelle qui satisfait a Téquation (5). 

 Si nous déterminons un nombre entier 7n plus grand que 

 la valeur absolue de chaque racine de Téquation déterminante, 

 nous pouvons donc conclure qu'une Solution de l'equation (5) 

 doit satisfaire ä 



im 



dx"' 



Alors 



d^ Zy d^z.^ d'zn 



dJ->' ' dx^ ' • • • ' jj.ü 



n 



i':iii, m + 1, ... m + jLi — 1 



') Frobenius >I.'ber die reguliiruu Integrulen der lineuren l)iff-gleich> Journal 



für die Reine und nngew. Math. Tome HO Putre 319. 

 ^) Ibidem page 331. 



