102 BENDIXSON, LES ÉaUATION DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES ETC. 



doit étre iml identiquement. Mais on sait que 



72 = r{x)e -^ ^ 



oii 7'(a') est une fonction rationnelle formée par de seules opera- 

 tions arithmétiques des coefficients de Téquation (5), et il est 

 donc evident que cette fonction doit s'annuller identiquement. 



Dans le cas on Téquation différentielle donnée est irré- 

 ductible, il suffira en general de calculer des valeurs approximées 

 de a, Aa . . . A^ , b, Ba . . . B^ . . . et de les substituer dans r{x) 

 pour se couvaincre que cette fonction ne s'evanouit pas. 



Mais dans le cas ou Téquation (1) est réductible, on ne 

 pourra pas déterminer par des approximations, si r{a;) s'evanouit 

 ou non. 



Dans ce cas il faut avoir recours au procédé suivant. 



La fonction r{x) est une fonction rationnelle de x^ des 

 quantités a, A^ . . . A^ , b, B^ . . . B^ . . . et des coefficients de 

 ri{.T) . . . ru{a;). Mais comme a, Aa ■ . . A^ satisfont a des équa- 

 tions algébriques dont les coefficients sont des fonctions rationnelles 

 des coefficients de r^{w) . . .r^^{x), r{x) doit satisfaire å une équa- 

 tion algébrique 



cpir) = O 



dont les coefficients sont des fonctions rationnelles des coefficients 

 de rj(A'), . . . , r^ix). Cette équation est donc formée par de 

 seules operations arithmétiques des coefficients de Téquation (1). 

 Si le coefficient indépendent de r dans cette équation s'evanouit, 

 il existe une fonction rationnelle v teile que Téquation (3) ait ses 

 Solutions communes avec Téquation (2); s'il ne s'evanouit pas, la 

 méme équation n'a pas de Solution commune avec une équation 

 du premier ordre. 



Le resultat obtenu peut évidemment s'enoncer de la maniére 

 suivante : 



»La condition nécessaire et süffisante pour qu'une équation 

 diflférentielle linéaire 



