182 PHRAGMÉN, SUR LA RESOLUTION DES ÉQUATIONS NUMÉRiaUES. 



En adoptant une notation de Kronecker, suivant laquelle 



sgn a 

 désigne 



— 1, O, ou + 1 



selon que la quantité reelle a est negative, nulle ou positive, 

 on peut donner a ce problérae Ténoncé abrégé que voici: 



Ayant séparé une 7'acine reelle simple de Véquation f(^z)=^0, 

 déterminer sgn g{z) pour cette racine. 



E,ien n'est plus facile, au point de vue purement théorique, 

 que de calculer la valeur de g{z) a une quantité donnée g pres. 

 En effet, on pourra déterminer immédiatement une limite supé- 

 rieure de la valeur numérique de la dérivée g'{z) pour les va- 

 leurs de z entré a et h. Soit %' cette limite supérieure. En 

 substituant dans f{z) les termes consécutifs d'une progression 

 arithmétique a différence ö et en choisissant Tun des deux 

 termes entré lesquels f{z) cliange de signe, on aura déterrainé 

 la racine cherchée a ö prés, et par conséquent la valeur de g{z) 

 a moins de %'d prés. Il suffit, par conséquent, de choisir 



pour arriver au but proposé. On voit aisément que ce calcul 

 peut étre arrangé d'une maniére tres pratique, en employant le 

 procédé de Horner, niais on voit aussi que cela ne suffit pas 

 pour déterminer sgn^(^) d'une maniére infaillible. 



Il est nécessaire, a cet effet, de savoir a pr^or^ jusqu'a quel 

 point il faut pousser l'approximation, pour étre sur d'avoir le 

 signe correct. 



Il est vrai qu'on pourrait tou jours s'assurer, d'une maniére 

 tout a fait certaine, si sgn g{z) est nul ou non, en appliquant 

 le procédé pour chercher le plus grand diviseur commun å f{z) 

 et g{z). Soit li{z) ce commun diviseur, on aura sgn g{z) egal 

 ou non a zéro, selon que sgn ]i{a)h{U) est egal a — 1 ou a 

 + 1. 



