190 BENDIXSON, SUR l'iRRBDUCTIBILITE DES FUNCTIONS ETC. 



II nous a donc paru digne de quelque interet que Ton peut 

 éviter tout calcul tentatif et donner une méthode plus directe 

 qiii nous donne les dites conditions sous la forme dévelopée 

 ci-dessus. 



En nous proposant d'abord de déterniiner si 



a un facteur du premier degré en ?/, nous mettons 

 On aura donc 



-n— ] 



Po(^) A^y) =/(•« . »?) = /?" + ry, {x)if - 1 + . . . ^„ _ i(A')r; + (/„(^), 



Si cette nouvelle fonction a un facteur du premier degré 

 en 1^, ce facteur sera nécessairément de la forme 



oü gi^cc) est une fonction entiére rationnelle de x. Si /, , h , ... 

 Iji désignent les dégrés des fonctions q^ia^) , ...,g„(.r), on déter- 

 minera un nombre entier positif ?7i plus grand que toutes les 

 quantités ' 



^1 > 2 ' • • • ' w ■ 



On sait donc que le degré de f/(a;) est <?n, d'oü Ton con- 

 clut que réquation 



(1) M^) = 



doit étre satisfaite par une valeur de r] qui fait 



Mais en dérivant l'equation (1), on voit que -— s'exprime 



da; 



en fonction rationnelle de x et r] 



M ^ /.tO^', rj) 



