274 BENDIXSON, SUR l'iNTEGRAT. d'uN SYSTEME D'EaUATIONS ETC. 



conduirait a 



OXa u = \, . . . , fj + r 



ce qui ne donne pas de Solution, nous aurons nécessairenient 



(4) W'u = u = 1,2, ... \q+r-2 



S'il existe des fonctions x,j+i , ..., Xq^rr-, satisfaisant aux équa- 

 tions (1), ces fonctions doivent par conséquent satisfaire aux 

 équations (4). 



Si plus de r des fonctions W^ sont indépendantes, il est 

 donc evident que le Systeme (1) n'admet pas de Solution. S'il 

 y a r seulement des fonctions TF„ qui sont indépendantes, les 

 équations (4) fönt connaitre ^Vy+i , • • • , Xq+r , en fonctions de 

 x^ , . . . , x,^ , et il faut rechercher, si ces fonctions satisfont au 

 Systeme (1). 



Si entin le nombre des fonctions W^ qui sont indépendantes 

 est k=^r — s, les Xq+s+\ ,•••■, ^q+r 5 s'expriment en fonctions de 

 Xy , ... Xq +., , ä l'aide des équations (4). En substituant ces 

 valeurs dans les équations (1), les k derniéres d'entre elles, 

 donnent naissance, si elles ne sont pas identiquement satisfaites, 

 a un nouveau Systeme d'equations, auxquelles doivent satisfaire 

 Xy , . . . , Xq, Xq+i , . . . , Xg+s , et on pourra a l'aide d'elles ex- 

 prinier encore quelques unes des quantités Xq+,, en fonction des 

 autres quantités Xq+y et des variables x^ , . . . , Xq. 



On procédere ainsi jusqu'-a-ce que l'ou aura déterminé 

 Ji = r — t fonctions Xq+(+i, . . ., Xq+r, des quantités .7;^, . . ., Xq+t 

 qui, ou satisfont identiquement aux h derniéres des équations 

 (1), ou donnent naissance ä des équations auxquelles on ne peut 

 satisfaire, tant que x^ , . . . , Xq sont des variables indépendantes. 

 Dans le dernier cas on voit que le Systeme (1) n'a pas de Solu- 

 tion; dans le premier au contraire on aura a étudier le Systeme 

 d'equations 



dXq + i= ÜyydXy + . . . + ClyqdXq 



(5) 



dXq + t= U^dX-y + . . . -r UtqdXq 



