276 BENDIXSON, SUR l'iNTEGRAT. d'uN SYSTEME D^ÉCiUATIONS ETC. 



On aura don c 



._, dep d<p ^ f^(f 7^ r\ 



(7) ^ + -öT^-, ^-^-^i' « + ••• + ^-^- = ^ , 



IhCct Udqj^g + i Uclq + r « = 1, ...,r/. 



II est clalr que Ton n'a pas de fonction cp qui satisfait 

 aux équations (7) indépendamment des valeurs de y^+x , . . . , 

 yq+s j ^Vq+s+\ , . . . , Xq+ri cai" uiifi teile fonction serait aussi une 

 integrale du Systeme (2), qui aurait alors plus de s integrales 

 indépendantes, ce qui est contraire å notre supposition. 



Pour le Systeme d'equations (7) on sait donc qu'en la ré- 

 duisant a un Systeme complet par la méthode de Jacobi, on 

 obtient nécessairement </ + r — s équations distinctes. Pour la 

 resolution de ce Systeme on a donc a opérer de la méme maniére 

 que nous avons développé ci-dessus, et on parvient ä un Sy- 

 steme d'equations 



(8) Tr«=o 



qui doivent étre satisfaites par les fonctions cherchées. 



Ici il faut d'abord rechercher si les équations (8) peuvent 

 étre satisfaites en regardant yq+\ , • • • , llq+s ■> comme des con- 

 stantes arbitraires, et si les Solutions ainsi obtenues satisfont au 

 Systeme (6). Si- cela n'a pas Heu, il peut arriver que les équa- 

 tions auxquelles on parvient donnent comme resultat que certaines 

 relations doivent subsister entre les constantes yq+xt •••, yg+s, 

 ou méme qu'il faut attribuer des valeurs speciales a ces con- 

 stantes, pour que les équations (6) soient satisfaites. 



En continuant maintenant de la méme maniére que ci~dessus, 

 on parviendra å un Systeme analogue au Systeme (5). Ayant 

 forme le Systeme d'equations aux dérivées partielles correspondant, 

 trois cas peuvent se presenter: Ou ces équations förment elles 

 un Systeme complet, ou n'en förment elles pas, mais admettent 

 pourtant des integrales communes, ou enfin n'ont elles pas d'in- 

 tégrale commune. Nous avons ci-dessus indiqué, comment il 

 faut procéder dans chacun de ces cas. 



Pour fixer les idées nous traiterons un exemple facile. 



