280 BENÜIXSON, SUR LES ÉdUATIONS DIFFÉRENTIELLES RÉGULIERE3. 



On peut donc énoacer le théoréme qui suit: 



»Si 



Vx = Vxix — a) 

 est le développement en serie procédant suivant les puissances 

 entieres et positives de x — a d'une integrale de Véquation re- 

 guliere irréductible (1), on peut tracer de tels contours Cj , ..-, 

 Cn , dans le plan des x, quen faisant décrire å x les contours 

 C^ 1 ■ ■ ■ , Cn , y\ se change succesivement en y^ i • • ■ i "i/n i l^s fonc- 

 tions y\ T y^ 1 ■ • • ■: yn 1 formant un systenie fundamental dHnté- 

 grales de Véquation (1). 



Supposons en effet qu'en faisant décrire å x tous les con- 

 tours possibles dans le plan des x, la fonction y^ ne se change 

 en plus de k integrales indépendantes y^ , . . . , t/^ , et formons 



Zx 



dx'' ' dx'' ' " ' ' dx" 



d[y^ djj^ djyj^ 



dx'' ' dx'' ' " ' ' dx/ 



v = o, . .., X — 1, X+1, 



v = 0, ... , i — 1. 



La fonction Z^ est évidemment une fonction monogene 

 uniforme de x, car en faisant décrire ä ^ un contour quel- 

 conque, chaque fonction yx se change en une fonction linéaire 

 de ?/i , . . . , yk , ce qui ne fait pas changer la valuer de Zi . 



L'equation (1) étant reguliere, on sait de plus que chaque 

 integrale reste finie pour x— nn point singulier a quelconque, 

 si on Ta préalablement multipliée par une puissance convenable 

 de X — a, d'oü Ton conclut que Zx n'a que des poles. 



On peut donc affirmer que Zx est une fonction rationnelle 

 de X. 



Mais y, , . . . , yk , satisfont alors a une équation différen- 

 tielle linéaire d'ordre k ä coefficients rationnels en x, ce qui 

 fait voir que k = n, l'equation (1) étant par supposition irré- 

 ductible. 



On voit aisément que ce théoréme n'a pas en general lieu 

 pour les équations diiférentielles irréductibles qui ne sont pas 

 réguliéres. L'equation 



