282 BENDIXSON, SUR LES ÉaUATIONS DIFFÉRENTIELLES RÉGULIERES. 





da: r]^ 



j" — \ 





-~ ■ — + pJx) -, ^ •—+...+ PnM {Z=0. 



Mais toutes les dérivées de t]^ s'exprimant er fonctions 

 rationnelles de tj^ et ä*, on voit, que les coefficients de cette 

 équation sont des fonctions rationnelles de rj^ et x. 



L'equation (1) a une integrale commune avec Téquation 



7« 1 



(1 1/ 



(4), et le coefficient de _ ^ n'etant pas egal au coefficient de 



d''~^z 

 i^_-^ , on conclut que l'equation (1) est rédubtible, si Ton ad- 



till' 



Joint la fonction i^i /) ou, ce qui revient a la méme chose, si 

 Ton adjoint la fonction ^^ . 



Il existe donc nécessairement une équation difFérentielle 



dont les coefficients y^^a; , ^j) sont des fonctions rationnelles de 

 a; et ^^ , qui a toutes ses solutions communes avec l'equation 

 (1), et qui est irréductible, si Ton adjoint la fonction §j . 



Nous allons prouver que l'ordre k de l'equation différentielle 

 (5) est nécessairement un diviseur de n. 



Soit P(y) l'expression différentielle du membre gauche de 

 l'equation (1), et Q(^j , ?/) celle du membre gauche de l'equation 

 (5), on peut écrire 



P(i/)^-^~iQ(^i > .v)) + q,(. , l,)^~=^(Q(^, , 3/)) + • • • + 



9„_>', b,)Q(li, y), 



ou les fonctions qr{ä; , ^j) sont des fonctions rationelles de a-, ^j . 

 Mais cette identité doit donc subsister pour chaque racine de 

 l'equation irréductible (3), d'oü l'on conclut que chacune des 

 équations 



') Confer ä ce sujet le second de mes mémoires cités page 1. 



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