284 BENDIXSON, SUK LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES RÉGULIEKES. 



dont les coefticients sont des fonctions ratioiinelles de x et ^j , 

 et qui est teile que chacune des équations (6) a au moins une 

 integrale commune avec cette équation. Mais les équations 

 (6) étant irréductibles, elles auront alors toutes leurs integrales 

 communes avec l'equation (8). 



On peut alors prouver que l'equation (8) est identique a 

 réquation (1). 



Soit en efFet comme ci-dessus y^='^^{x — a) le dévélop- 

 pement en serie, procédant suivant les puissances entieres et 

 positives de x — -a, de l'une des integrales de l'equation (5). 

 En faisant décrire å ^ un contour quelconque, ou la fonction 

 fj maintient sa valeur, quand x retourne a a, et la fonction 

 ?/j se cliange alors en l'une des integrales de cette méme équa- 

 tion (5), ou la fonciion tj se change en l'une des fonctions 

 ^2 , • . • , ^r 5 et la. fonction y-^ se change alors en l'une des 

 integrales de quelqu'une des équations (6). Q,uel contour que 

 l'on fasse décrire å a', y^ ne peut donc jamais se changer qu'eu 

 des fonctions qui sont des integrales de l'equation (8). 



On conclut donc que l'expression 



Zv 



dx" ' dx^' " '' dx" 



iTyy d^ d^'y^k 



dx" ' dx"' " '' dx" 



>' = 0, . .., ^ — 1, A+l, ...(>i 



v = 0, 1 pÅ— 1 



est une fonction monogene uniforme, ^/j , . . . , y^k-, désignant un 

 Systeme fondamental d'integrales de l'equation (8). Mais toutes 

 les integrales de l'equation (8) sont des integrales de l'equation 

 reguliere (1), d'oii l'on conclut que Zx n'a d'autres points singu- 

 liers que des pöles, c'est-a-dire que Z). est une fonction ration- 

 nelle de x. On aura donc enfin établi que les coefficients de 

 l'equation (8) sont des fonctions rationnelles de x. L'equation 

 (1) étant de plus irréductible, cela fait voir que 



Qk — n. 



Si n est un norabre premier, on voit donc que k est néces- 

 sairement egal a 1. 



