302 BENDIXSON, SUR UNE THEOREME DE M. LIE. 



Voici une luanicre tres elementaire de démontrer ce tliéo- 

 reme. 



I. On prouve d'abord qu'un Systeme d'equations linéaires 



^aCp =^ + Uam+l XT^ + • • • + ^^«« 77^=0 



O^a Oil„i^i OXn a = l,...,m 



oü les daß désignent des fonctions de .^', , . . . , a;.,i , et oü les 

 équations 



(//a^ß JßJayp = a = ], . . . , m 



ß = l, ..., m 



sont identiquement satisfaites, a w — jn integrales indépendartes, 



(fm + 1 , • • • , (fn ■ 



Ce théorérae de Jacobi est trop connu^ pour que je m'en 

 occupe. 



Puis on montre, que ces 71 — m integrales sont encore 

 indépendantes, si on les considere comme des fonctions des 

 seules variables Xm + i, ••-, a'^. Car supposons que Ton ait 

 une relation 



/(.^'l , . . . , ^m , Cfm + 1 , • • • , (Pn)^0 



qui est satisfaite identiquement. 

 L'equation 



^«/= V^ + TT^ ^a(fm + l + • • • + TT^ z/a<jp«~0 



OXa OCpm + i 0(fn 



nous fait alors voir que 



t/<^a = 1, 



c'est a dire que / ne contient que cfm + i ■, ■ • ■ , (fn • 



11 subsisterait donc une relation entre (/-,„ + !, ..., cfn , ce 

 qui n'a pas lieu. 



Comme cpm + i-, ■•, (pn , sont des fonctions indépendantes, 

 si on les considere comme des fonctions des seules variables 

 Xm + i, ■■•, ^n, on en conclut, que l'on peut déterminer une 

 teile fonction de (fm+i, ■■, ffn , qu'en y mettant ^j=ij, 

 ..., Xm = Xm, eile se réduit å une fonction y(a;m + i, •••, ^n), 

 déterrainée d'avance. 



