304 BENDIXSON, SUR UN THEOREME DE M. LIE. 



(hU'm + 1 , • • • , X,) 

 O'^m + l 



Le Systeme d'equations 



Pa -^ «v^'l ' • • • 5 '^'n 1 Pm + 1 i • • • j Pn) ^^^ 'J j a = 1 , . . . , n» 



(y;;,+l(.?', , . . . , A'„ , p,n + \ , . • • , i>«)=0 , 



est alors un Systeme en involution. 



En résolvant la derniere par rapport a j?„i + i, on aura 



Pa " ay^x i • • • 5 "^'/tt ; pin + 1 1 • • • 5 pn) ^^^ ^ j a = l, . . . , »t 



/>/« + 1 -^ m + i(a'i , • • • ; A'rt , Pin + 27 • • • > ^n) = ^ • 



Ce Systeme est évidemment aussi un systéme en involution, et 

 on sait de la fonction F^ + i, qu'elle se réduit a >^-^ '"'•••' ' 



(^^m + 1 

 pOUr d;, = .^1 , . . . , Xm = .Ihn ■ 



De méme que ci-dessus on démontre, que le systéme d'equa- 

 tions linéaires 



(pa — J^a , (f) = O «=i,...,,«+i 



est un systéme complet, d'oii l'on conclut que Ton peut déter- 

 rainer une teile Solution <^to + 2(<2''i , •••, ^n , Pm + i, • ■ • ■> Pn), 

 qu'en y mettant x^—a\, ..., A'« = i„i, .Vm + i=-^m + i , la fonc- 

 tion q>m + 2 se réduit ä 



(^Xi^m + l 1 •*m + 2 : • • •; ^n) 



Pm + 2 



dx 



m + 2 



En résolvant Téquation ^^ + 2 = par rapport kpm + 2^ on 

 aura un systéme en involution 



Pa i^ a\X\ :••■■> ^n j Pm + 1 ? • • • ■> pn) = 'J 5 a = l, . . . , m 



pm + 1 ''m + iy^i ,■•■■> •^^'ra j Pm + -2 1 • • • 1 PnJ^^^i 



2? ni + 2 — I^m + ^{^1 , • ■ : ^n , Pm + 1 , pm + 3 , • • • , Pn) — O , 



ou -T,« + 2 se reduit a -^- ^ ^ si on y met 



ox ni + 2 

 X^ = ÄJj , • • • ; Xni + 1 = •-'?^;jj + 1 • 



