512 PHRAGMÉN, SUR I,E PUINCIPK DE DIRICIILET. 



Déniontrons d'abord <|u'ä tout nonibre positif d correspond 

 un aiitre noinbre positif o tel que, apres aA'oir choisi arbitraire- 

 ment un point P sur t, on puisse trouver deux fonctions (f/> et 

 yjj. harmoniques dans le domaine Sp qui correspond au point 

 choisi, continues dans {Sp + Sp), et satisfaisant aux inégalités 



(pP>f—ö, ipp<f+ö 



sur t, et aux inégalités 



cpp<f, lpP>f 



dans les points qui appartiennent a la tbis a ?; et a une hyper- 

 sphére au rayon a et au centre P. 



En eflfet, si on commence par fixer le point P, on voit im- 

 médiateinent qu'il y a un nombre op jouissant de la propriété 

 indiquée par rapport au point P. Pour le montrer, désignons 

 par (fQ et i^Jq deux fonctions harmoniques dans Sp et continues 

 dans {Sp + Sp), et dont la premiére est égale k f — 6/2, la 

 seconde å f + öl2 dans la partie commune de Sp et de t. Soit 

 de plus y la fonction de Green (au sens de Riemann) relative 

 au domaine . Sp et a un point fixe arbitrairement å Tintérieur 

 de Sp mais a Textérieur de 1\ c'est-å-dire une fonction teile 

 que yi — l/rP — - (pour p^=l: y — log 1/V) soit harmonique dans 

 Sp et continue dans (S/> + Sp) et que y soit nul sur sp. (Si le 

 point fixe est ä Tinfini il faut modifier un peu cet enoncé). 



La fonction (p^^ étant égale k f — dj^ dans la partie com- 

 mune de Sp et de ^, il y aura nécessairement un certain en- 

 tourage du point P comprenant toute cette partie commune et 

 tel que Tinégalité 



aura lieu dans la partie de cet entourage qui appartient a Sp. 

 La fonction y étant positive ou nulle dans Sp, Pinégalité 



aura lieu dans le méme domaine quelle que soit la quantité k, 

 supposée positive. Dans la partie de t qui n'appartient pas a 

 l'entourage de P que nous venons de déterminer, la fonction y 



