514 VHRAGMÉN, SUK LE PRINCIPK UK DIRICIILET. 



Le nombre positif c) étant fixe arbitrairement, il existe 

 (lonc toujours un nombre positif o qui satisfait aux conditions 

 fonnulées ci-dessus. Nous suppo.-ons <jue le domaine T et les- 

 valeurs /' soient définis d'une teile nianiere que, le nombre å 

 étant fixe arbitrairement, on sache eflectivement caleuler un tel 

 nombre o. 



Divisons maintenant t en un nombre fini de parties i, ^ 

 ^2 , . . • , tu dont ehacune puisse étre contenue dans une hyper- 

 spliére au rayon o- On pourra faire correspondre å chaque 

 partie tx, un domaine Sx dont fait partie le domaine 7' et pour 

 lequel on sait résoudre le probleme de Dirichlet, et deux 

 fonctions (^;. et ipx barmoniques dans *S;., continues dans (Sx+sji) 

 et satisfaisant aux inégalités 



yA</. y^?.>f dans tx, 



(fX>f—å, -ip?.<f+ d dRns t. 



Si nous désignons maintenant par s un nouveau nombre 

 positif arbitrairement donné, on saura former une fonction liar- 

 monique dans T, continue dans (7'+i) et dont les valeurs sur 

 t différent des valeurs données / de moins de {d + (■.). 



En eifet, soit U le domaine forme des points communs de 

 tous les domaines 5;.(Z = l...w) et soit u sa limite, et définis- 

 sons dans (U+u) deux fonctions (JJ et 'F par la condition que (D 

 doit étre toujours égale å la plus petite des fonctions cfx et de 

 méme ^ toujours égale å la plus grande des fonctions ipx- 



Ces fonctions et 'F seront continues dans (U+u) et on 

 aura sur t 



(1) -^ - -^ ' 



f<W<f+d. 



On pourra don c choisir une quantité positive q de maniére 

 qu'on ait, dans la partie de l'entourage ^ de ^ qui appartient 

 a ( f/ + m), 



f--å—a<(D<f+s, 



/— € <^</+(J + £. 



