92 HOLMGREN, SYSTEME VON PARTIELLEN DIFEBR. -GLEICHUNGEN. 



Funktionensystem befriedigt werden könnte, welches innerhalb 

 eines gewissen Gebietes nebst einigen oder allen Ableitungen 

 stetig ist, und welches diesen Anfangsbedingungen genügt. Bei 

 vielen Anwendungen der Theorie der Gleichungssysteme (1) ist 

 es von Bedeutung diese Frage näher zu untersuchen. ^) 



Im Folgenden werden wir eine Methode angeben durch 

 welche gezeigt wird, dass unter allen Integralsystemen, die inner- 

 halb eines gewissen Gebietes .Vq <. x <. x^ + l, \i/ — J/o | < ^ de- 

 finiert und nebst den ersten Ableitungen stetig sind, das analy- 

 tische System das einzige ist, welches obigen Anfangsbedingungen 

 genügt. -) 



§ I. Wir werden in diesem Paragraph einen Hülfssatz 

 ableiten, welcher sich auf die analytischen Integrale des vorgelegten 

 Gleichungssystems bezieht. In dem (reellen) Bereiche 



\x — Xo\<Q^\y—yo\<Q 

 ziehen wir eine Curve x = g{y)^ wo g{y) eine im Bereiche 

 \y — yA'^Q konvergente Potenzreihe ist; wir nehmen an, dass 

 diese die Gerade a- = x^ in zwei Punkten A und B schneidet, und 

 dass sie also mit dieser Gerade ein Gebiet T einschliesst, welches 

 z. B. rechts von AB gelegen ist. 



Wir betrachten nun das analytische Integralsystem Zi{x, y) 

 {% ^\, 2, . . . , n), welches den Anfangsbedingungen 



^ioiy) : y) = H^iiy) (^ = l, 2, . . . , n) genügt; 



dabei bedeutet ipi{y) (^ = 1, 2, . . . , n) gewöhnliche Potenzreihen 

 mit reellen Koefficienten, welche konvergiren, wenn \ij — yol'^Q- 

 Unser Iliilfsatz lautet dann folgendermassen: 

 Wenn die Punkte des Segmentes AB der Curve x = g{y) 

 in einer gewissen Nähe J x — Xq\<^ a ^ \y — 3/0 | < <^ ^O" (^''-'o' ^o) 

 liegen, und |,^'(,y)l kleiner als eine gewisse Grösse h für alle 



') Dieselbe Frage isj- auch bei den allgemeinen partielleu Differential- 

 gleicbungeu zu siellen. 



*) Hier ist also die Annabme gemacht, dass die Aafangswei'the glüichuiässig 

 angenommen werden. Läset man diese Bedingung fallen, so kommt man auf Fragen, 

 die niebt in Uetraclit gezogen sind. 



