102 HOLMGREN, SYSTEME VON PARTIELLEN DIFFER.- GLEICHUNGEN. 



und auf welcher wir ein innerhalb S gelegtes Segment abgrenzen 

 könnten, dessen Mittelpunkt C ist. In der Umgebung dieses 

 Segmentes ist das Integralsystera gleich Null; C kann also kein 

 Begrenzungspunkt sein. 



Die entwickelten Resultate sind natürlich auf die linearen 

 Differentialgleichungen höherer Ordnung anwendbar, da diese auf 

 die Form (1) gebracht werden können. Die Gleichung (18) 

 wird dann die bekannte Karakteristikengleichung. 



Wir betrachten z. B. die Gleichungen zweiter Ordnung. 

 Diese können auf folgende drei Typen transformiert werden 



d-u d'^u die , du „ 



(a) ^—^ + ^-li + a- h b-^ + cu = ö 



^ ' ox- Oy üx axj 



d^u du , du „ 



iß) ä— ;r + <^ä- + ^ir + ^'^* = 



^■^ ^ öxdy ox oy 



, - d\i du , du ^ 



(^^ ^^ + "^+^^+^^*^^' 



Bei dem Typus («) sind die Karakteristiken imaginär. Man 

 findet leicht dass ein Integral, welches in einem Gebiete Null ist, 

 in seinem Existensbereiche innerhalb G überall Null sein muss. 



Bei (ß) haben wir die zwei reelle Karakteristikensysteme 

 X = konst., y = konst. Das Nullgebiet ist hier innerhalb des 

 Existensbereiches von Karakteristiken begrenzt; wenn es ganz 

 innerhalb G liegt, so muss es ein Rechteck sein, dessen Seiten 

 den Koordinatenaxen parallel sind. (Man kann leicht ein nebst 

 seinen Ableitungen überall stetiges Integral bilden, welches inner- 

 halb des Rechteckes Null, ausserhalb aber von Null verschieden 

 ist. Hieraus lässt sich schliessen, dass ein Integral, welches 

 auf zwei zusammenstossenden Seiten eines solchen Rechtecks 

 Null ist, innerhalb dieses Rechtecks identisch gleich Null sein 

 muss. ') (Wäre es nähmlich nicht der Fall, so könnte man ein 



*) Dieser Satz, welcher die Eindeutigkeit der Lösung bei der Gleicliung (ß) 



enthält, ist von mir in Upsala universitets Årsskrift, 1897 in einfacherer Weise 



bewiesen worden (auch brauchen in diesem Beweise die Koefficienten nur stetige 



7''unktiouen zu sein). — Ich benutze diese Gelegenheit um die Bemerkung zu 



luachcn, dass die Eindeutigkeit der Lösung der Gleichung 



Ö^i . ' 

 — -— = sin u 

 Öxny 



