106 MEBIÜS, AUFLÖSUNG VON GLEICHUNGEN. 



71 Integrationskonstanten ergeben sich die sämtlichen n + 1 Wur- 

 zeln der Gleichung (1). 



Die Methode scheint sich auf die allgemeine trinomische 

 Gleichung der Form (1) {n > 1) anwenden zu lassen. Ich wende 

 dieselbe mit Erfolg an, um eine Wurzel einer Gleichung des 

 zwanzigsten Grades zu berechnen (§ 12). Es bleibt indessen 

 noch zu beweisen, dass (1) im allgemeinen ein partikuläres Inte- 

 gral der Gleichung (2) ist. Dies ist nicht der Fall, wenn ?i = l; 

 die Gleichung zweiten Grades lässt sich also nicht auf diese 

 Weise lösen. Dagegen habe ich kontrolliert, dass es wirklich 

 für n = 2, 3 und 4 der Fall ist. 



Für die Lösung der allgemeinen Gleichungen vierten oder 

 fünften Grades hat die Methode vorzugsweise ein theoretisches 

 Interesse, da es für die Zurückführung der Gleichungen auf die 

 Normalform noch keine leicht zum Ziele führende Methode giebt. 

 Für den praktischen Gebrauch ist daher die Lösung nur dann 

 von Wert, wenn die Gleichung zufälligerweise trinoraisch ist. 



Die Wurzeln der Gleichung (1) werden durch partikuläre 

 Integrale Np(n) der Differentialgleichung (2) ausgedrückt. Einige 

 Beziehungen dieser Funktionen werden zwar mitgeteilt; das 

 eingehende Studium derselben muss aber einer besonderen Unter- 

 suchung überlassen bleiben. Die Bedeutung dieser Funktionen 

 ist indessen nicht darauf beschränkt, dass durch dieselben die 

 Wurzeln gewisser algebraischen Gleichungen ausgedrückt werden 

 können. Vielmehr scheint es mir, dass sie an und für sich In- 

 teresse darbieten. In dieser Hinsicht können sowohl die sehr 

 einfachen Rekursionsformeln der Koefficienten der Potenzreihen 

 als die Beziehungen (80), (81), (110—112), (143—146) hervor- 

 gehoben werden, durch welche alle Funktionen Np{n) der gleichen 

 Ordnung n , vermittelst einer einzigen Funktion, ausgedrückt 

 werden können. 



§ 2. Zurückführung der Gleichung auf die Normalform. 



Die Gleichungen dritten, vierten und fünften Grades können 

 nach dem Theorem von TsCHiRNHAUSEN auf die Form 



