ÖFVBRSIGT AP K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 1901, N:0 1. 109 



§ 4. Integration der Differentialgleichung, wenn \x\<i\. 

 Definition von Np{x) . 



Die Differentialgleichung 



q = n — 1 



{n + lyDy = n {('^ + l)-«-^ + qn~l} • ^ (^) 



q = 



lässt sich leicht in Form einer Potenzreihe integrieren. Wir 

 nehmen anfangs an, dass die Reihe nach steigenden Potenzen 

 von X fortschreitet, und dass die niedrigste vorkommende Potenz 

 .^™ ist. Wir setzen also 



y =^ Ä X"' + A' ^,d?™+i + . . . = 2 ^' ^ ^"'■^'' • (20) 



•5' m m + 1 Jmå m-irr \ / 



?- = 



Dann wird 



{n + lyD^'y = 



= {n + ly 2 {m + r)(m + r — 1) . . .{7n + r — n + 1)A[^^_^^x'^ + r-n 



7-0 



= {n + 1)«2 n {m + r — q)Ä^^^x^^+^—^ 



r=o ?=o 



und 



q = n — 1 



n {{n + l)xD + qn — l]-y = 



g = 



r= oo 



X '^ q = n — \ 



= > n {{n + \){m + r) + qn — l]Ä x^^'-. 



/■ = 



Wir müssen also identisch haben: 



r = ü 



= 7 n {('^ + l)(m + ?') + qn—\) Ä^^^x'"'^^. 



r = 



J(21) 



Links gehen hier die Potenzen ,r™ — ** , .^;™ — (" — 1> , . . . , ^™~^ 

 ein, welche rechts nicht vorhanden sind. Die entsprechenden 

 Koefficienten müssen daher Null sein, welches der Fall wird, 

 wenn wir setzen: 



