ÖPVERSIGT AF K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 1901, N:0 1. 111 

 und 



_* "' ^ {{n + 1) (jo 4- rn) + qn — 1} 



ist. 



Die Funktionen Np{x) sind ri an der Zahl. Wenn z. B. 

 w — 3 , zeichnen wir dieselben Oq{x) , S^{x) , S^i^) . Wir werden 

 im Folgenden zeigen, dass die n Funktionen Np{x) alle aus einer 

 einzigen Funktion hergeleitet werden können. Die Reihen con- 

 vergieren, wenn | .i' j < 1 . 



§ 5. Integration der Differentialgleichung^ loenn \x\^l . 

 Definition von iV_ ^(.2?) . 



Wenn | ^ ] ^ 1 , wird die Potenzreihe, durch welche Np{x) 

 definiert ist, divergent. Wir werden darum in diesem Falle ein 

 Integral der Differentialgleichung von der Form einer Potenz- 

 reihe suchen, welche nach abnehmenden Potenzen von x fort- 

 schreitet, und es sei .«™ die höchste vorkommende Potenz. Wir 

 setzen also 



r=oo 



y = Bi x"' + B ,^™-i + B „.'c™-^ + . . . = y,B' .-c™-'' . (28) 



«5' m m — 1 m — 2 Amt m — r ^ / 



r=0 



Wir müssen also identisch haben: 



n {m — r — q)B^_^x 



q = 



in — r — n 



7-=0 



J(29) 



S3 = « — 1 

 n {{n + 1) (m — r) + qn — 1] É^^_^x^-'-. 

 q = 

 r = 



Auf der rechten Seite kommen hier die Potenzen x"^ , x'^~'^ 

 ^ __^m — ra+i vor, welche auf der linken Seite fehlen. Die ent- 

 sprechenden Koefficienten müssen daher Null sein, was der Fall 

 wird, wenn wir setzen: 



B' ^0] B ,=J5' ^=... = B' , ^=0 



m ' m — 1 m — 2 m — (« — 1) 



und 



q=n — 1 



n {(w + 1)^ + 5»i — 1} = . 



3=0 



