ÖFVERSIGT AF K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 1901, N:0 1. 117 



§ 9. Auflösung der Gleicluing des dritten Grades. 

 Spitzer ^) hat gefunden, dass eine Wurzel der Gleichung 



y^ + y + X = (55) 



ein partikuläres Integral der Differentialgleichung 



(4 +27/^ + 4 ^~36-^-^ ^^^^ 



ist. Die Form dieser Differentialgleichung ist nicht sehr einfach. 

 Es war aber anzunehmen, dass, wenn die Gleichung des dritten 

 Grades statt der Form (55) in die mit Bezug auf die Auflösung 

 einfachste Form gebracht würde, auch die entsprechende Differen- 

 tialgleichung einfacher würde. Bringt man die Gleichung in die 



Form 



y^~^y + %v = 0, (57) 



so ist nach der CARDAN'schen Formel 



y = "(/— X + yx- — 1 + ]/~ X — \lx- — 1 . . . (58) 

 und die entsprechende Differentialgleichung 



^•^••^-i)i+4:-l^=o (59) 



oder 



^D'^y=^{<d{xDr--l].y (60) 



in Übereinstimmung mit (2) und (11) . 

 Die Auflösung ist die folgende: 

 l:o. Wenn | .i- 1 < 1 , ist nach (24) 



y ^ A,U^) + A,2,{x) , .(61) 



wo 



.,.._-, 1 x"- 1-b-lx'' 1 • 5 . 7 . 11 • 13 ^6 , 



') Simon Spitzer: Untersuchungen im Gebiete linearer Differential-Gleich- 

 ungen. Wien 1884, 1885. Diese Arbeit wurde mir erst bekannt, nachdem ich 

 mit der vorliegenden fertig war. Die erwähnte Eigenschaft der Differential- 

 gleichung (56) erfuhr ich aus einer Aufgabe in Eorsyth: A Treatise on Differen- 

 tial Equations. 



