120 MEBIÜS, AUFLÖSUNG VON GLEICHUNGEN. 



2,0.):= ^^^'"^+/^- ^, (80) 



2i(-)==^^^^^^=#=^-^ (81) 



und mit AriAvendung von (77), (80), (81) 



1{ix) • 2(— iA') = 1 (82) 



§ 10. Die Aufiösung der Gleichung des vierten Grades. 



Setzt man in den Gleichungen (1) und (2) n = 3, so erhält 

 man die Normalform der bikvadratischen Gleichung 



v/* — 4v/ + 3.« = (83) 



und die entsprechende Differentialgleichung 



Q4.D^y = {4:xD — 1) {LvD + 2) {LxD + b)y . . . (84) 



oder nach (13) 



64(.«3 _ 1) ^ + 288.^■2^, + ll2x'Y — lOy = 0. i) (85) 

 dx^ dx- dx 



Führt man in diese Differentialgleichung den Wert von x 

 aus (83) und die Wert der Ableitungen aus (38), (39), (40) 

 ein, so wird sie identisch. Die Gleichung (83) stellt also ein 

 partikuläres Integral von (85) dar. 



l:o. Wenn | .r | < 1, ist nach (24) die Auflösung: 



y = Aß^{x) + A^Z,{x) + Ä.ß^ix) , (86) 



wo 



'^/^ 1 LiU .t'3 1. 2. 5-11. 14. 17 .^« , .^_. 



.\,{x) = 1 — ^ • ^^ ':~w^- — '. r« ~ • ■ • • ^^ 



mit der Rekursionsf'ormel 



( 12/- — 1) (12r + 2) (12r + 5) a^. 

 (3r + 1) (3r + 2) (3r' + 3) ' 4? 



VJ-^' — x.)\i.^r -^ ^)\x.^r f o) u^r /qq\ 



') Diese liueure Differentialgleichuiijs; findet sieh ausser bei Spitzer 1. e. 

 (zweites Heft) auch in einer Arbeit Ton Fiiancescü Buioschi, Annali di Mate- 

 niatica, Serie II, Tonoo X, pag. 104 (105), 1880 bis 188'i: Sülle equazioni diffe- 

 r(;nziali del tetraedro deirottaedro e deU'icosaedro. 



