190 PHRAGMÉN, SUR UNE LOI DE SYMÉTRIE ETC. 



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(1) J (P{^)^ - * - l£?^ -= y^ n- («o — sy , 



et désignons par q le rayon de convergence de ce développement 

 taylorien. 



Définissons en fin le symhole [u] par les conditions suivantes: 



{u pour M ^ O 



[U pour M ^ U. 

 Cela pose, je dis que les deux integrales infinies 



00 CO 



J {cp{x)]oc'~'^~'^{log x)~^dx, j { — q>{x)]x-'^~'^{log oti)^^dx , 



Xq Xq 



convergent ou divergent en méme temps, tant que a satisfait ä 

 Vinégalité a >■ s^ — q et que k est un nomhre entier (positif, 

 négatif ou nul). 



Comme il est evident a priori que ce théorénie est vrai pour 

 a > «o , il sufilt de le démontrer en supposant s^ — ?<ö^^o- 



D'abord, on obtient immédiatement, en intégrant ou en 

 dilFérentiant (1) par rapport a ^, la formule 



00 00 



(2) (p{x)-x-'-'^{\ogx)-''dx ^ y ^T^(so — s)''; 



dans cette formule, k est un nombre entier (positif, nul ou néga- 

 tif), c_i, c_2) ••• sont certaines constantes d'integration; la 

 serie du membre droit converge pour | s — ^o I "^ ? • 

 Posons maintenant 



(3) 



00 



/; = r{y(^)}^-^o-i K^o ~~ ^^) '°^ ' S: . (log x)-'^dx ; 



c'est une quantité finie si nous supposons convergente Tintégrale 



o» 



I = j[^{x)]x-"-^\cgx)-^dx (a étant inférieur ou egal å s^) 



On a en effet 



