ÖFVERSIGT AF K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 1901, N:0 3. 193 



Dans toutes ces expressions limites s s'approche de Sq en dé- 

 croissant. 



Or, dans Tintégrale 



00 



(5) f {— (p{x)} ^- .-1 fe«Zl.^J^^ (log a;)-'daj 



les elements sont positifs ou nuls et croissent quand s décroit. 

 Par conséquent, on démontre å 1'aide de la formule (4), que 

 Tintégrale 



00 



f{- 7)(a^)}ar-^o--ifelZi:^J^^J!(log a;)-'da; 



Xq 



obtenue de (5) en y écrivant Sq au lieu de s, converge et est 

 égale ä 



On a en effet, pour s > s„ , .« > .^'o , 



X 



f{— (Pix)] x-^-^ [(Vll:^J^-^? (,0g ^^y. , dx 



Xc, " 



00 



^ i , ^ •^ , Rsn — cc) log ai]^ ,, s , 7 

 < I {—(f{a;)]w-'-^^^^ r^-^-^{\og x)-^da; 



Xo ~~ 



oo 



< lim fl— cf{x)} ^- ^ - 1 K"o — «)'»gtf (log ^y , d^^ _ 



s=soJ 1^ 



Xq 



Ces inégalités étant vraies pour toutes les valeurs de s >■ s^, et 

 la premiére de ces trois integrales étant une fonction continue 

 de s jusqu'a s = Sq, on aura encore pour s = Sq 



X 



f{- q{.v)}x-^o-i K^" ~ ""^ '"g tf (log x)-'dx 



00 



< lim [{— (f{x)) x-^-^ ^^^^" ~ "^^ '""^ "" ^ (log x)-'dx . 



