194 PHRAGMÉN, SUR UNE LOI DE SYMÉTRIE ETC. 



Or, dire que cette inégalité subsiste pour toutes les valeurs 

 de X supérieures å x^^^ c'est dire que Tintégrale 



h- cf{x)\ x-^o-i IS^o^Z^^p^^l (,0g ^y,^^^ 



converge. On peut en conclure que Tintégrale (5) converge uni- 

 formément pour s>Sq, et Tégalité (4) donne par conséquent 

 finalement 



oo 



f{- cf{x)] x-^o-i K"" ~ ""^ ^°g ^ J (log x)-'dx = 



= i,-'-^is,-ay. 



Faisant la somme par rapport å I, nous obtenons 



OJ CO 



(6) v f{- (p(x)]x-^o-il^fo::z^^}2lll(\og x)-^dx = 



03 CO 



o o '"" 



ce qui est une quantité finie, parce que O < Sq — a <. q . 



Répétant, avec une raodification insignifiante, un raisonne- 



rnent de toute a l'heure, nous concluons inainteiiant sans difficulté 

 que r integrale 



00 



j[— q){x)] X- " - 1 (log x)- ^ dx = 



Xq 

 CO 



= J ( — (pi-c)] x-^'^ ''^ ' x^o~" •{\og x)— * dx 

 converge, et qu'elle est égale å l'expression (6), c'est a dire a 



CO 00 



j {cp(x)} x—'{\og x)-^dx — v ^^' («o - «y • 



Une modification de Ténoncé de notre théoreme s'ofFre d'elle 

 inérae. Les trois integrales 



