ÖFVERSIGT AF K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 1901, N:0 3. 195 



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j {^(^)} .«■" " ~ •* ('og ^)~ '^ dx , J { cp{a;)] x— « — ^(log ca)— * dx , 



^0 a; o 



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j\ fp{^) \oc-'*-'^{\og x)- ^ dx 

 convergent et divergent en méme temps. Cest evident puisqu'on a 



I (P{^) I = {^Wl + {— (P{^)] 

 O < Wi.^)] < I ¥.^') h O < }- cp{x)} < I cf{x) I . 



Il mérite d'etre remarqué que, dans le cas ou on sait que 



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rintégrale infinie jq)(x)x~^'''^ dx , ainsi que toutes les integrales 



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j(:f{x)x~^~^{\og xydx, que nous avons supposé absoluraent conver- 



gentes pour M{s) > Sq , convergent encore uniformément, bien que 

 peut-étre non plus ahsolument^ pour Sq > R{/) > s^ — q, le théoréme 

 que nous venons de démontrer devient tout-å-fait banal. 



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Dans ce cas, en eflPet, si Tintégrale j{cp{x?)\ x~^-~'^(\og xy dx 



converge pour une valeur de s teile que M{s) < s^ il s'ensuit 

 immédiatement que i'integrale 



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J ( — q){x)}x—^-^{\og xY dx 



a-o 



converge aussi, puisqu'on a 



Panni les applications norabreuses que comporte ce théoréme 

 nous ne citerons aujourd'hui que celles qui ont rapport a la fonction 

 f(x) de RiEMANN, ou plutöt a la fonction plus generale f{x, a) 

 définie par la condition de rester constante entré deux puissances 



de noinbres premiers, et d'augmenter de — — quand x passe par 



, P 



p^ , p etant un nombre premier. 



