196 PHRAGMÉN, SUR ÜNE LOI DE SYMÉTRIE ETC. 



On aura 



00 



I f{x, d)x-^ — '^ dx = — log C{s + a) , 

 1 

 et cette égalité subsistera pour R{s) >1 — a si a<l, et pour 

 Ji{s) > O si a > 1 . 

 On peut écrire 



1 , ^ , . log (s — 1 + «) log (a — 1) C(«) 



- log C (s + a) = ^-^ + — ^^ ^^-^^-^ + 



s ^ ^ ^ s s 



, ^ (a - 1) S («) 



et, dans cette formule, le troisieme terme n'a plus, dans le do- 

 maine M(s) > ^ — a , d'autres points singuliers que les zéros 

 imaginaires de C(s + a). 



On trouve facilement une fonction 0{x, a) teile que 



00 



I 0{x, «)^-* — 1 dx = — — + fonction entiere. 



Xq 



Teile est en efFet la fonction (D(x, a) définie par les conditions 



da)(x, «) _ 1 

 dx x" log X 



1 



0{e, a) = C + I du , 



o 



C étant la constante dite d'EuLER ou de Mascheroni. *) 



' Nous donnona le calcul en entler bien qu'il soit tout élémentaire. Nous 

 pouvons écrire 



fl — e— " /^e— «rfw /-ed — «)m — 1 " 



<I>{e, a) = dti— I + — ■ — du. 



Ju J » J M 



O 1 o 



Puis on a, pour «<1 et Ä(s) >> 1 — a, de möme que pour a >- 1 et /^(ä) >• O 



lim 'P{x, a)x—^ - 0. 



X= 00 



