198 PHRAGMÉN, SUR ÜNE LOI DE SYMÉTRIE ETC. 



f{x , a) — (D{x , a) , 

 les trois integrales 



^{'^{x)\x-ß-^ (log x)-^dx , f[— g)(x)\x-ß-'^ (log x)-^dx , 



00 



C\ (f(x) I x— ß — ^ (log x)- ^ dx 



Xq 



convergent ou divergent en méme temps, tant que 



D'ailleurs on sait qu'elles divergent süreraent pour ß = \ — a , 

 ^ = 0. (Car si la derniere integrale convergeait pour ces valeurs, 

 il s'ensuivrait que log ^(,s + ef) serait fini pour R{s + a)>\, ce 

 qui n'est pas le cas, la fonction C(s + a) ayant certainement des 

 zéros dans ce domaine). On peut par conséquent dire, sans 

 toute restriction, qu'elles convergent ou divergent en méme 

 temps. 



En particulier faisons o; ;= 0; f(x, 0) est la fonction f{x\ 



de RiEMANN, tandisque 0{x, 0) ^= Li x, de sorte qu'on peut 



mettre 



cp{x) = fix) — Li X . 



M. VON KoCH a démontré {Acta matliematica, t. 24, p. 182), 

 en admettant que les zéros imaginaires de C(s) ont leurs pai'ties 

 reelles égales a \, que Ton a 



I f{x) — Li x\ <, K\ogx ' x'i 



Comme nous l'avons déjå remarqué pour le cas plus general 

 ou a est quelconque, les trois integrales 



00 00 



J {/('^) — ^* x\x~ ii dx , J \Li X — f{x)]x~ ^ dx , 



•'■o 



CO 



J I Å^) — Li x\ x~ '-i dx 



xa 



Xfy 



