ÖFVERSIGT AP K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 1901, N:0 3. 199 



divergent sürement, ce qui déraontre que la difFérence 



f{x) — Li X 



change nécessairenient de signe une infinite de fois au-dessus de 

 toute liraite finie. 



Le resultat de M. von Koch démontre, si on admet le 

 théoreme que les zéros imaginaires de C(s) ont leurs parties 

 reelles egales a i, que les trois integrales 



.00 00 



J l/C-^) — Lix^[X~^{\(i%x)~^dx ^ j [Lix — f{x)\x~ ^^ (\(yg x)—^ dx , 



00 



J I /(■*) — Li x\ (log x)~ ^ dx 



convergent. 



II est d'ailleurs assez vraisemblable que méme les trois 

 integrales suivantes 



CO 00 



(8) J {f{x) — Li x\x'~ ^(log x)~ ^dx , j {Li x — f(x)}x~~ ^ (log x)— ^ dx , 



XO Xq 



00 



j I /(■*) — Li x\ x~^ (log x)— 1 dx 



convergent. 



En efFet, tout ce qu'on sait jusqu'ici sur la distribution des 

 norabres premiers nous porte å croire que, si F(x) désigne le 

 norabre des nombres premiers Interieurs ä x, Tinégalité 



F{x) < Lix , 



est toujours vérifiée. Du moins on ne connait jusqu'ici aacun 

 resultat qui soit en désaccord avec cette hypothese. ^) 



^) Voici en effet en abrégé les chiffres principaux connus jusqu'ici (les va- 

 leurs de F{x) sont ceux qu'a indiqués M. Gram: Rapport sur quelques calculs 

 entrepris par M. Bertelsen, Acta matli. t. 17). 



X 



en millions 



F{x) 



Lix 



Li 



X — Fix) 



1 



78 498 



78 627.5 





129.5 



2 



148 933 



149 054.8 





121.8 



3 



216 816 



216 970.6 





154.6 



