ÖFVERSIGT AF K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 1901, N:0 3. 201 



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j I f{^) — Li ^\- x~ t . (log xy~^dx , 



tandisque, de ce dernier théoreme, on n'a réussi a déduire que 

 celle de iMntégrale 



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Comme derniére application de notre théoreme, nous vou- 

 lons donner la demonstration rigoureuse d'un autre fait bien 

 connu de la théorie des nombres premiers, qui n'a pas jusqu'ici, 

 autant que je sais, été démontré d'une maniere satisfaisante. 



M. Gram compare la fonction F(a;) avec la fonction F{x) 

 définie par 



^ ^ |1 • 1 • So ^ • 2 • S3 j3 • 3 • S4 \ ^^^ n^l 



1 



fonction qui est teile que 



P{.v) + i P{xi) + -^ P(.r3) + ... = Lix—C loglog .7; . 



On voit qu'en négligeant seulement des quantités devenant 

 infiuies avec x comme xs, on peut raettre 



P{a;) = Li x — h Li x~'i 

 et de méme 



F{x)=f{x)-\f{^i). 



On a donc, en négligeant une fonction reguliere pour i^(s)>| 

 ^{Fix) — P{x))x- '-^dx = 



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— J (/C"^) — ^^" '•'^)'^~ ^~'^ dx — \j {fioc^") — Li x^)x-~ ' - 1 dx 



00 00 



= j{fix)—Lix)x-^-^ dx —jifiy) — Liij)-y-'-^-^- dy 



_ log \{s - l%{s)\ log [(2. - l)g(2.9)] 

 s 2s 



Öfvers. af K. Vet.-Akad. FörJi. 1901. Arg. 58. N:o 3. 2 



