204 EREDHOLM, SUR LE PROLONGEMENT ANALYTIQUE. 



Pour voir quelle est la representation conforrae réalisée par 

 cette fonction faisons décrire å u la circonférence |w| = l. Alors 

 on a, en posant 



ic = e^'P , 



s + ti=-- f(u \a), log (1 —/?) = — i7 

 e~ ^^ cos Ht =^1 — ß cos if 

 e~ ^^ sin Ht = — ß &m cp 



d'oü l'on obtient en éliminant cp Téquation de la coarbe cherchée 



2 cos Ht = {l— ß''-)e"' + e-H' . 



Changeant pour simplifier les coordonnées en posant 



Ht = y 



Hs = .v — Uog{l—ß''), 



on trouve 



ou 



cos y = yi — ß- 



■7, e"" + e~ 



cos ?/ = |/l — ß'^ cos luv . 



On voit que cette courbe approche indéfiniment d'une ligne 

 droite quand ß approche de l'unite. Soit F(z) une fonction holo- 

 morphe au point s = a et écrivons son développement en serie 

 de Taylor sous la forme symbolique 



, _ ,^ 

 F{z) = e "^^^Fia). 



Posons dans cette formule 



z — a = (.'t' — a)f{u\a) = — (w — a) -^- ^ ' —^ 



ti 



et développons suivant les puissances de u nous aurons 



log (1 - ßu) d 



F{z)=^e II "^Fia) 



X — a d 



= (1 — ßuf ^i ' <'« F(a) . 



