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Öfversigt af Kongl. Vetenskaps-Akademiens Förhandlingar 1901. N.-o 5. 



Stockholm. 



Ueber Functionen die ein algebraisches Additions- 

 theorem besitzen. 



Von Henrik Petrini. 



[Mitgetheilt am 8 Mai 1901 durch E. Phragmén.] 



Einleitung. 



Bei dem Studium von Functionen pflegt mau gewöhnlicher- 

 weise voraussetzen, dass dieselben analytisch sind um nachher 

 andere Eigenschaften abzuleiten. Jedoch kann die Frage gestellt 

 werden, ob nicht anderweitige Definitionen als Potenzreihen von 

 prinzipiellerer Natur sind, indem dieselben nicht voraussetzen, 

 dass die Functionen analytisch sind. Im Folgenden wollen wir 

 ein Beispiel geben von solcher Behandlung von Functionen, wo 

 dieselben nicht analytisch vorausgesetzt werden, und zwar wollen 

 wir die Functionen durch eine Functionalgleichung definieren. 



Es sei 



F{u, V, w) 



ein rationales Polynom der Veränderlichen u, v, lo und cp{x) 

 irgend eine Lösung der Functionalgleichung 



(1) F\cp{x), cfiy), ^(^ + i/)] = 0. 



Wenn cp(a;) analytisch vorausgesetzt wird, so ist bekanntlich (p{ä;) 

 eine algebraische Function von i<(^), wo u{a;) entweder = w oder 

 eine eindeutige periodische Function von x ist. Es ist jetzt 

 von Interesse die Gleichung (1) zu studieren ohne irgend welche 



