298 PETRINI, FUNCTIONEN MIT ALGEBR. ADDITIONSTHEOREM. 



Beschränkung der Function cp{^'c) aufzulegen, und es wird sich 

 dabei zeigen, dass q){a;) analytisch sein muss, wenn es irgend ein 

 Gebiet giebt, innerhalb welches cp(a;) eindeutig ist, und wenn (f{^) 

 in einem einzigen Punkte desselben Gebietes continuierlich ist, 

 vorausgesetzt dass F{u, v, lo) nicht gewisse singulare in sich 

 selbst transformirbare Formen annimmt. 



Allgemeines. 



Wenn man in (1) y — x setzt, so erhält man eine alge- 

 braische Gleichung zwischen (p{pii) und q){2x). Setzt man in (1) 

 y = 2a; und eliminirt q)(2x) zwischen der so erhaltenen Gleichung 

 und der vorigen, so bekommt man eine Gleichung zwischen (p{a;) 

 und (y(o^). Fährt man auf diese Weise fort, kann man für jedes 

 ganzzahlige n eine algebraische Gleichung zwischen q){a;) und 

 (f){iix) finden. Auf dieselbe Weise erhält man eine Gleichung 

 von der Form 

 (2) F^lcpimx), (p{nx)] = 0, 



wo F^{u, v) eine algebraische Gleichung zwischen it und v ist 

 und wo m und n beliebige ganze Zahlen sind. Aus (2) ergiebt 

 sich folgender 



Satz: Wenn cp{x) = a für x = a, so kann man mittels einer 

 algebraischen Gleichung (p{f,ia) bestimmen, wo ^t rational ist. 



Bemerkung. Man kann a priori nicht behaupten, dass die 

 Werthe von (p{oi;) unabhängig von der Weise sind, in welcher 

 sie sind abgeleitet worden. Auch sind solche Functionsformen F 

 denkbar, für welche die genannte Methode für gewisse Werthe 

 von (p{a) unanwendbar ist. 



Beispiel. Es sei 



C3) [cp{x) + (p{y)'] cp{x + y) == \cp{x) — (p{y)J . 



Schliessen wir solche Lösungen von (3) aus, welche unendliche 

 Werthe von (f{x) in jeder Umgebung von dem Punkte x = 

 ergeben, so wird für y = x 



cp{x) cp(2x) = . 



