'300 PETRINI, FUNCTIONEN MIT ALGEBR. ADDITIONSTHEOREM. 



Durch Elimination von tpi^x^ + cc + ^ + TJ) zwischen (8) und 



(9) erhält man die algebraische Gleichung 



(10) Fii^Pi^, V^iri), ip{^ + n)}=0. 



Wenn j^(0) #= ist, kann man (^)(§)= </'i(^) + ip{0) schreiben . 

 Wir können also ohne Beschränkung der Allgemeinheit der Unter- 

 suchung im Folgenden voraussetzen, dass die zu betrachtende 

 Lösung der Gleichung (1) derart sei, dass (f{x) endlich und ein- 

 deutig in einer gewissen Umgebung des Punktes ^ = ist, und 

 dass ^(0) = ist. 



Continuität. 



Nach (1) ist 



F{(p{a;) , cp{?/ + %) , q{w + ^ + %)) — F{cp(a^) , cp(i/ + öy) , q){x 4- y)) 

 + F{cp{x), cp{y + öy), q{x +y)] — F[(p{x), cp(y), cp{x+y)] = , 



welcher Ausdruck durch algebraische Operationen auf die Form 

 gebracht werden kann 



I^M'^), 9^(-^+y), (p{y+^y\ (p{^+y^^y)) •[<iP0^'+^+%)-<jp('^+3/)]+ 

 I + ^1 {(p{^\ (piy\ (p{^ + yl (piy +^y))- Wiy + ^y) — ^(^)] = ^ ' 



wo H und //j ganze Polynome sind. Oder man kann schreiben 



(12) ^y(f(^+ y) = J^My) 



und es ist diese Gleichung (12), w^elche den Ausgangspunkt unserer 

 folgenden Untersuchung über die Continuität der Funktion cp(x) 

 bildet. 



Es sei cp(x) in einem gewissen Punkte a discontinuirlich 

 '.- dq){a; + a) — Iaåcp{a)-.- ö(p(a; + a) kann nicht unendlich klein 

 werden wenn nicht H^ unendlich klein wird •.• folgenden 



Satz: Wenn cp{a;) in einem einzigen Punkte discontinuirlich 

 ist, so ist g){a;) discontinuirlich in allen Punkten, wo ll^ nicht 

 unendlich klein mit öy wird; und umgekehrt wenn ö(p(a;) in einem 

 einzigen Punkte" continuirlich ist, so ist (p{a;) continuirlich in 



