ÖFVERSIGT AF K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 1 90 1 , N:0 5. 301 



allen Punkten, wo nicht eine gewisse Function H unendlich klein 

 mit öy wird. 



Für gegebene y und öy giebt es nur eine endliche Anzahl 

 von Werthen, in der Umgebung von welchen die Werthe von q){x) 

 nicht fallen dürfen. 

 Beispiel 1. 



cp{a; + y) = (p{a;) + cp(y) 

 ■.■q){x+y + Öy) = cp{a^ + (p{y + dy) 

 •.•åy(p{x+y) = d(p{y) 



(13) I •.• (p{x + d + y) — (p{x+y) = a = (p{y + d)— (f{y) 

 cp{x + 2Ö+ y) — (fix + (J + ?/) = a 



(fix + nö-^-y) — (fix + \ii ~ 1](5+?/) = a 

 ',' (f{x + nå+y) — (p{x+y) = w« , oder für x = und nd = x 



(14) (pix+y) — (f{y)^na. 



Wenn lim a nicht = wird, so muss \cf{x-{-y) — (p{y)\ unend- 



lieh sein für jedes x. Da wir unendliche Lösungen nicht in 

 Betracht ziehen, können wir also behaupten, dass (f{x) continuir- 

 lich sein muss. 

 Beispiel 2. 



\.- log (f{x+y) = log (f{x) + log (f{y) 



•.• nach B. 1 muss log (fix) continuirlich sein •,• (fix) ist con- 

 tinuirlich. 



Beispiel 3. 



(16) (fix + y) ^ (f{x) + (fiy) + ag)(j;) (p{y) . 

 Setzt man 



(17) (f{x) = \[ip{x)-l-], 



so erhält man die Functionalgleichung 



1fia; + y)= ip(x)ip{ij) , 

 welche von der Form (15) ist •.• (fix) muss continuirlich sein. 



