302 PETRINI, FUNCTIONEN MIT ALGEBR. ADDITIONSTHEOREM. 



Die Lösungen der Functionalgleichuugen (13), (15) und (16) 

 erhält man folgenderinaassen. Aus (13) ergiebt sich durch 

 Wiederholungen 



cp{pix) = niq){x) 



(p\-x\ = -cp{x) 



im \ 1 . ^* / \ 



cpl— x\ = — cpimx) = — cfi{x) 

 ^ \n j w w^ 



•.• cp(aai) = aq)(x) , a = — . 



Für « = ^ erhält man 



^-f^ --= J-^-^ = Ci , wo c eine Constante ist, 



(18) vg)(^) = c^ 



Da f/-(§) continuirlich ist, so muss (18) für jedes t, gelten. Die 

 Lösung von (15) giebt dann sofort 



(19) (fix) = c^ 

 und (16) giebt 



(20) (^Gr) = i(c--1). 



Bemerkung, Dieses letzte Resultat hätte man auch direct 

 aus (16) folgern können, indem man durch Induction 



{\ + acpix)y — l 

 (f,{nx) = 



findet und nx = ^ setzt 



^(^0 _ [ l + «y(g)]-^/^- -l 



a 

 sa 



Für lim x — folgt dann 



1 1 r-i /t-x-i 1- <jP(-^) 



^ log [1 + «r/)(^)J = c, c = a hm J^—^ 



