ÖFVERSIGT AF K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 1901, N:0 5. 303 



DiflFerentiierlbarkeit. 



Aus der Formel (12) folgt 



(21) (p'{^+y)-h(p\y)^ 



wo /() = lim / ist. Aus (21) ergiebt sich folgender 



Satz. Wenn q)'{a:) in einem einzigen Punkte ?/ existirt, so 

 existirt (p'{-v) in allen Punkten mit Ausnahme von denjenigen, 

 welche eine endliche Anzahl von ^(A')-Werthe bestimmen, 

 nähmlich diejenigen, für welche Iq unendlich oder unbestimmt 

 wird. 



Es kommt also jetzt darauf an zu beweisen, dass in einem 

 Punkte cpXy) existirt ohne dass 7^ unendlich wird. Wir können 

 annehmen, dass ^(0) — ist. Von der Gleichung (1) wollen wir 

 annehmen, dass bei der Reduction (S. 299) ein a so gewählt werden 

 kann, dass bei Auflösung der Gleichung (1) in Bezug auf ^(a' + ?/) 

 man eine Gleichung von der Form bekommt 



Da ^(0) = 0, q){x + y) = (p{y + x) und cp{x + 0) =^ q>{x) ist, so ist 

 (p{x + y) = cp{x) + (p{y) + (fix) ■ cp{y) • i-i 



(22) 



^1 = a + P{cp(x), cp(y)), 



wo a eine Constante ist und P(0, 0) = ist. Da q){x) in der 

 Umgebung von dem Punkte als continuirlich angenommen 

 werden kann, so kann man x und y so klein annehmen, dass /.i 

 zwischen zwei beliebig engen Grenzen liegt. Gesetzt 



f-iy = a + Pl(p{x), q){vx)'] 

 ay — 1+ (.lycpix) , 



•.•\(.iyq){x)\<,l für hinlänglich kleine Werthe von x. 



Ferner kann man die Schwankung von {.ly beliebig klein 

 machen, wenn man ;?? hinlänglich klein nimmt. Also kann ge- 

 setzt werden 



