310 OSEEN, UEBER EINIGE BERÜHRUNGSTRANSFOEMATIOJSTSGRUPPEN. 



dass die Functionen Wj, CD^ . . . Ö>,' von vornherein so gewählt 

 sind, dass 0j, 0^ . . . Q),,- eine Functionengruppe bilden. Wenn 

 eine Gruppe mehrere invariante Gieichungensysteme von dieser 

 Beschaffenheit hat, betrachten wir das Gleichungensystem, welches 

 die wenigsten Gleichungen, etwa r', enthält. Durch eine homogene 

 B. T. kann man dann die Functionengruppe Ö>j, . . . 0,' in die 

 durch gewisse von den Functionen .r, , x^, a;^, p^, p^, j^s ^l^fi- 

 nierte Functionengruppe überführen. ^) Wir wollen die sich hier 

 darbietenden Möglichkeiten durchmustern. Die transformierte 

 Functionengruppe enthalte von den Functionen x eine Zahl 

 x(< 3), von den Functionen p eine Zahl 7r(^ 3). Die Functionen- 

 gruppe enthält ferner eine gewisse Anzahl, etwa s, von Func- 

 tionen nullter Ordnung. Dieses System von Functionen bleibt 

 offenbar bei der Gruppe für sich invariant. Es geht bei Ein- 

 führung nicht-homogener Koordinaten in ein bei der ursprüng- 

 lichen Gruppe invariantes System über. Also folgt, dass s ent- 

 weder gleich 2, 3, 4 oder 5 ist. s ist übrigens gleich z-f7r — 1, 

 wenn tt > 0, und gleich x, wenn tt = 0. 

 1). s = 2. Hier ist entweder a) /. — 2, tt = 0, 



oder b) /. = 2, tt = 1, 

 oder c) x = 1, tt = 2, 

 oder d) z = 0, tt = S. 



Wir betrachten zuerst die Fälie a) und b). Das bei der 

 homogenen Gruppe invariante System sei im Falle a) a;^ = const. 

 ^■2 = const.; im Falle b) entweder a;^ = const. a;^ = const. n^ = 

 const. oder x^ = const. x,, = const. 7t^ = const. 



In allen Fällen bleibt bei der nicht homogenen Gruppe das 

 Gleichungensystem x^ = const. .^2 = const. invariant. Dann muss 

 aber die Gruppe reducibel sein. Die nothwendige und hin- 

 reichende Bedingung für die Reducibilität einer B. T. Gruppe 

 im Räume ist ja,-) dass es ein 2-gliedriges vollständiges System 

 von linearen, part, Differentialgleichungen erster Ordnung giebt, 

 welches die Gruppe gestattet, und dessen Lösungen ausserdem 



') TransformationsgruppeD II, S. 227. 

 2) L. c. II, S. 377. 



