ÖFVERSIGT AP K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 1901, N:0 5. 313 



Im Folgenden untersuche ich die Fälle 1, der zwei neue 

 Gruppen urafasst, 2, der keine neuen Gruppen ergiebt, 3 a) von 

 welchem Falle dasselbe gilt. Endlich bestimme ich von den 

 Gruppen des Falles 3 6) die, welche x^, c%\, ?/, , y^ primitiv 

 transformieren. 



Erledigung des ersten Falles. 



Wie oben gezeigt ist, ist es in diesem Falle, wenn die 

 Gruppe irreducibel ist, immer möglich das invariante System 

 durch eine Berührungstransformation auf die Form 



x^ = const. y2 "= const. 



zu bringen. Dieses System soll also bei der Gruppe invariant 

 sein. Es sei nun W{xj, x^, z, i/^, y^ die charakteristische 

 Function einer inf. Transformation der Gruppe. Dabei wird 

 natürlich vorausgesetzt, dass es für alle in Betracht kommenden 

 Functionen W ein gemeinsames Gebiet giebt, innerhalb dessen 

 sie reguläre, analytische Functionen sind. Die Incremente, welche 

 e^'2 und 3/2 durch die inf. Transformation erhalten, sollen nach 

 der Voraussetzung nur von x.^ und y^ abhängen. Also muss 



wo q) und \p irgend zwei Functionen ihrer Argumente sind. 

 Also folgt 



W = h{xo, y^ + %{xy, x^, z, ?/i) 



dy dx _ dh 



dx^ dz dx^ ' 



Da das rechte Glied von ^j, z, y^ unabhängig ist, muss 

 auch das linke Glied nur von x^ und y^ abhängen. Da ferner 

 % nicht 3/2 enthält, so folgt 



dz^ dzdx^ dzdx^ dzdy^ dx-^dx^ dx^dy^ 



