314 OSEEN, UEBER EINIGE BERÜHRUNGSTRÄNSFORMATIONSGRÜPPEN. 

 also 



Also endlich 



W= cz + g{x^, yi) + /i(^'2, ^2) , 

 indem u{x^ in li{x2, y^) eingelegt ist. 



Aus dieser allgemeinen Form der char. Functionen der 

 Gruppe geht zunächst hervor, dass auch das System: .-^j^ = const. 

 y^ = const. in sich transformiert wird.^) Ferner ist es klar, dass 

 wir voraussetzen können, dass höchstens eine der charakteristi- 

 schen Functionen von z abhängt. Wir können also das System 

 der charakteristischen Functionen folgendermassen schreiben: 



^1 =</i(^n 3/1) + h{^2^ y^) 



^2 = ^2(^1 ' 3/1) + ^*2('^2' 3/2) 



W,. = e{z + griXr, r/r) + h,.(.Vr, ?/,.)) 



WO £ entweder gleich oder gleich 1 angenommen werden kann. 

 Die Functionen g und h sind natürlich nur bis auf Constanten 

 bestimmt. Sie brauchen ausserdem nicht alle von verschieden 

 sein. Damit die durch die Functionen W definierten inf. Trans- 

 formationen eine Gruppe erzeugen, ist nothwendig und hin- 

 reichend, dass: 



-S 



wo 



dWi dW- 



Ciksigs + K) : (i, /v = 1, 2 ...?' — 1) 



Also folgt 



r — 1 



{9i9k) + (hih) - V 



1 

 und 



r — \ 



(f/rgk) + ^'rK)--yx-§^—ih.Ql~ + 9k + h = \sCru{g, + K) 



(/c =- 1 , 2 . . . 7- — 1) . 



') Dies geht auch aus der Bemerkung hervor, dass mit der Functionsgruppe; 

 arj, ;;3, ;;2 (S. 311) auch ihre Polargruppe: cc,, ;;,, ^Jj invariant bleiben muss. 



