ÖFVERSIGT AF K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 1901, N:0 5. 327 



Verschiedene Fragen müssen noch beantwortet werden. Vor 

 allen Dingen müssen wir untersuchen, ob die aufgestellten Gruppen 

 irreducibel sind. Ich werde zeigen, dass in der That nur die 

 Gruppen I und IV irreducibel sind. Von den übrigen vier 

 Gruppen enthält V die drei übrigen als Untergruppen. Um die 

 obige Behauptung zu beweisen, hat man also nur nöthig zu zeigen, 

 dass V reducibel ist, I und IV dagegen irreducibel. Das Redu- 

 cibilitätscriterium haben wir oben aufgestellt. Man kann es so 

 formulieren: Soll eine B. T. Gruppe im Räume reducibel sein, 

 so muss es ein bei der Gruppe invariantes, o-gliedriges Pfaff'- 

 sches System geben, von der folgenden Form: 



( dz — ?/j dx^ — yi''^^2 ^^ ^ 



I ß^dx^ + ß^dx^ + ß^dy^ + ß^dy.^ = . 



Ich betrachte jetzt insbesondere die Gruppe V. Ich mache die- 

 selben Überlegungen wie S. 321. z^\ ^•', x^^, y^ , y\ seien die 

 Koordinaten eines Punktes allgemeiner Lage. Ferner sei t eine 

 neue Veränderliche die bei der Gruppe V nicht transformiert 

 wird. Als homogene Koordinaten der durch den Punkt ^;„, x^ , 



dz 

 ^o, ?/0, ?/0 hindurchgehenden Richtungen kann man dann — =0', 



dx, , dx^ , dy, , dy^ , ... , t> • * 



-^^x„-^=x,,-l^=y,,f==y, wählen. Bei Aus- 



führung der Untergruppe von V, welche den Punkt 2**, x^ , x^ , 

 ?/° , yl festhält, w^erden diese Grössen projektiv transformiert und 

 zwar so, dass x\, x'^, y\, y'o unter sich transformiert werden. 

 Durch die zwei letzten der Gleichungen a) ist dem Punkte z^ , 

 x^ , x^ , y^ , y^ ein System von zwei Gleichungen: 



a,(0", .i'J, .^'0, ?/;, y''^)x\ + a,x\_ + a^y\ + a^y\_ = 

 ß^x\ + ß^x\_ + ß^y\ + ß^y\_ = 

 zugeordnet, das bei der genannten proj. Gruppe in x\^ x\, y\, 

 y\ invariant bleiben muss. Fasst man x\^ x\^ y\^ y\ ^^ 

 homogene Koordinaten eines Punktes im Räume auf, kann man 

 also sagen: Die Punkte dieses Raumes werden durch eine proj. 



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